Inverse tunneling estimates and applications to the study of spectral statistics of random operators on the real line

We present a proof of a Minami type estimate for one dimensional random Schrödinger operators valid at all energies in the localization regime provided a Wegner estimate is known to hold. The Minami type estimate is then applied to two models to obtain results on their spectral statistics. The heuristics underlying our proof of Minami type estimates is that close by eigenvalues of a one-dimensional Schrödinger operator correspond either to eigenfunctions that live far away from each other in space or they come from some tunneling phenomena. In the second case, one can undo the tunneling and thus construct quasi-modes that live far away from each other in space. Résumé. Nous démontrons une inégalité de type Minami pour des opérateurs de Schrödinger aléatoires uni-dimensionnel dans toute la région localisée si une estimée deWegner est connue. Cette estimée de type de Minami est alors appliquée pour obtenir les statistiques spectrales pour deux modèles. L’heuristique qui guide ce travail est que des valeurs propres proches pour un opérateur de Schrödinger sur un intervalle sont soient localisées loin l’une de l’autre soit sont la conséquence d’un phénomène d’“effet tunnel”. Dans le second cas, on peut, en “défaisant” cet effet tunnel construire des quasi-modes qui sont localisés loin l’un de l’autre. 0. Introduction Consider the following two random operators on the real line • the Anderson model (0.1) H ω = − d2 dx2 +W (·) + ∑